Resolución de la la ecuación de grado 12: x¹² − 1 = 0, con sus doce soluciones. La clave no consiste en aplicar una fórmula gigantesca para ecuaciones de grado doce, sino en factorizar cuidadosamente el polinomio utilizando identidades notables: diferencia de cuadrados, suma de cubos, diferencia de cubos y propiedad del producto nulo.
Comenzamos transformando la expresión: x¹² − 1 en una diferencia de cuadrados: (x⁶)² − 1²
De este modo obtenemos la primera factorización:
x¹² − 1 = (x⁶ + 1)(x⁶ − 1)
Después continuamos descomponiendo cada factor. Interpretamos x⁶ + 1 como una suma de cubos y x⁶ − 1 como una diferencia de cubos:
x⁶ + 1 = (x² + 1)(x⁴ − x² + 1)
x⁶ − 1 = (x² − 1)(x⁴ + x² + 1)
Además: x² − 1 = (x + 1)(x − 1)
Por tanto, la ecuación queda convertida en un producto de factores:
(x² + 1)(x⁴ − x² + 1)(x + 1)(x − 1)(x⁴ + x² + 1) = 0
A partir de aquí utilizamos la propiedad del producto nulo. Cada factor debe igualarse a cero, lo que nos permite estudiar varias ecuaciones
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